画角と解像度の緻密な関係

今回はメモ的なログで。

元の画像をキープしたまま、画像の見える範囲を広げたい。
と思ったことはありませんか？

ズームアウトで外側の枠だけを広げて2倍の解像度にしたい場合
カメラの画角をどうやって設定したらいいか分かりますか？



『画角を2倍、解像度2倍でいいんじゃね？』

最初は誰もがそう考えるはずです。
ワタクシも疑いませんでした。
だけど、実際は違うのです。

角度を2倍にしたら、見える範囲は2倍になるのは正しいのですが･･･。
なんでかは、あんまり証明できないけれど、実際は違うみたいです。

Mayaには、カメラスケールというものが存在していて、簡単に結果を出すことが出来たりしますが
残念ながら、XSIには、標準でそんなものは用意されていません。

なので、ピッタリ来る計算式を出してExpressionを組んで見ましょう。

中学校でおなじみの懐かしの三角定理を使います。

下図は、トップビューからの図です。



緑の角度　x　は、三角定理を使うので元の画角の1/2を示しています。
求めたい赤の角度は　x'　として、これまた1/2とします。

aは、仮想のプレーンを想像して、そこまでの距離の長さ
bは、解像度の1/2の長さと仮定します。

最終目的はbがn倍になったときに、x'　がどのように変化するかです。

まずタンジェントを使います。

tan(x)=b/a　...①

が成り立ちます。

xを出すには、arctanを使います。
アークタンジェントとは、タンジェントの逆関数で、角度とか座標を求めるときに良く使ったりします。かなり便利なので、覚えて置くと◎です。

tan(x) = y のときに、arctan(y) = xになります。

これを利用して

arctan(tan(x))=x

①の式を使って

arctan(b/a)=x

です。
bをn倍したら　x'　になるので

arctan(nb/a)=x'

になります。なので、また式を戻してみます。

arctan(n･tan(x))=x'

になります。これで、角度の半分が求まります。

結果が求まりました！
XSIのExpressionは、こんな感じでしょうか。

atan(n*tan(Camera.camera.fov/2))*2

ちなみにですが、ソフトによって、tan()は、radianしか入らなかったりするんですが
XSIは、degreeで入ってくれますね。
pythonでコレをやる場合は、radianをdegreeに変換して使いましょう。

import math as m
x=40
n=1.1
m.degrees(m.atan(n*m.tan(m.radians(x/2))))*2

こんな感じですね。
話がそれましたが･･･。

数学って、こんな感じで使うんですよねー。
美しいものです。

こうやって、数学を覚えたりしたら、もうちょっと勉強したんだけどなぁ。
数学って楽しいものなんですよね。